与えられた級数の収束・発散を判定する問題です。 (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n}$ (4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$

1. 問題の内容

与えられた級数の収束・発散を判定する問題です。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n}$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$

2. 解き方の手順

(2)

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ を有理化します。

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

したがって、与えられた級数は

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}$

となります。

$\frac{1}{n(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})} < \frac{1}{n(2\sqrt{n})} = \frac{1}{2n^{3/2}}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ は $p=3/2 > 1$ であるから収束します。

したがって、比較判定法より、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n}$ は収束します。

(4)

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$

$\frac{2^n + 1}{3^n + 1}$ と $\left(\frac{2}{3}\right)^n$ を比較します。

$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2^n + 1}{3^n + 1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1} \cdot \frac{3^n}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^n 3^n + 3^n}{3^n 2^n + 2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1 + \left(\frac{3}{2}\right)^n}{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n} = 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ は公比 $2/3 < 1$ の等比級数なので収束します。

したがって、極限比較判定法より、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$ も収束します。

3. 最終的な答え

(2) 収束

(4) 収束