座標平面上の曲線Cが媒介変数 $0 \le t \le 1$ を用いて $x = 1-t^2$, $y = t-t^3$ と表される。 (1) 曲線Cの概形を描け。 (2) 曲線Cとx軸で囲まれた部分がy軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の曲線Cが媒介変数 $0 \le t \le 1$ を用いて $x = 1-t^2$, $y = t-t^3$ と表される。

(1) 曲線Cの概形を描け。

(2) 曲線Cとx軸で囲まれた部分がy軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 曲線Cの概形を調べる。

まず、$t$ の値に対する $x$ と $y$ の値をいくつか計算する。

$t=0$ のとき $x=1, y=0$

$t=1$ のとき $x=0, y=0$

$\frac{dx}{dt} = -2t$, $\frac{dy}{dt} = 1-3t^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1-3t^2}{-2t}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは $1-3t^2 = 0$ より $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき。このとき、$x = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, $y = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$

$x$ が最大になるのは $\frac{dx}{dt} = 0$, つまり $t=0$ のとき。

増減表を書くと、

$t$ | 0 | $\cdots$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $\cdots$ | 1

---|---|---|---|---|---

$\frac{dx}{dt}$ | 0 | - | - | - | -

$x$ | 1 | $\searrow$ | $\frac{2}{3}$ | $\searrow$ | 0

$\frac{dy}{dt}$ | 1 | + | 0 | - | -2

$y$ | 0 | $\nearrow$ | $\frac{2}{3\sqrt{3}}$ | $\searrow$ | 0

(2) 回転体の体積を求める。

回転体の体積 $V$ は $V = 2\pi \int_0^1 x |y| dt = 2\pi \int_0^1 (1-t^2)|t-t^3| dt$

$0 \le t \le 1$ で $t-t^3 \ge 0$ なので、

$V = 2\pi \int_0^1 (1-t^2)(t-t^3) dt = 2\pi \int_0^1 (t - t^3 - t^3 + t^5) dt = 2\pi \int_0^1 (t - 2t^3 + t^5) dt$

$V = 2\pi [\frac{t^2}{2} - \frac{2t^4}{4} + \frac{t^6}{6}]_0^1 = 2\pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6}) = 2\pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 曲線Cの概形は省略 (増減表と点(1,0),(0,0),(2/3, 2/(3√3))の情報から概形を描画してください。)

(2) 回転体の体積は $\frac{\pi}{3}$