$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\sin(x-\frac{\pi}{3}) dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\sin(x-\frac{\pi}{3}) dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算する。

$u = x$, $dv = \sin(x-\frac{\pi}{3}) dx$ とすると、

$du = dx$, $v = -\cos(x-\frac{\pi}{3})$ となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\sin(x-\frac{\pi}{3}) dx = \left[ -x\cos(x-\frac{\pi}{3}) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} -\cos(x-\frac{\pi}{3}) dx$

$= \left[ -x\cos(x-\frac{\pi}{3}) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos(x-\frac{\pi}{3}) dx$

$= \left[ -x\cos(x-\frac{\pi}{3}) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} + \left[ \sin(x-\frac{\pi}{3}) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$= \left( -\frac{\pi}{3}\cos(0) - (-0\cos(-\frac{\pi}{3})) \right) + \left( \sin(0) - \sin(-\frac{\pi}{3}) \right)$

$= \left( -\frac{\pi}{3}(1) - 0 \right) + \left( 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right)$

$= -\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$