周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x| \ (-\pi \le x < \pi), \ f(x+2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める問題です。

## 問題１

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x| \ (-\pi \le x < \pi), \ f(x+2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める問題です。

2. 解き方の手順

フーリエ級数は以下の式で表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

ここで、係数 $a_0$, $a_n$, $b_n$ は以下の式で与えられます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx$

関数 $f(x)=|\sin x|$ は偶関数なので、$b_n = 0$ となります。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi} (1+1) = \frac{4}{\pi}$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| \cos nx dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos nx dx$

ここで積和の公式 $\sin x \cos nx = \frac{1}{2} (\sin(x+nx) + \sin(x-nx))$ を用いると

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\sin(n+1)x - \sin(n-1)x) dx$

$n=1$ のとき

$a_1 = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin x \cos x dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin 2x dx = \frac{1}{\pi}[-\frac{1}{2}\cos 2x]_{0}^{\pi} = 0$

$n \neq 1$ のとき

$a_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos(n+1)x}{n+1} + \frac{\cos(n-1)x}{n-1}]_{0}^{\pi}$

$= \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos(n+1)\pi}{n+1} + \frac{\cos(n-1)\pi}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}]$

$= \frac{1}{\pi} [-\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}]$

$= \frac{1}{\pi} [\frac{(-1)^n}{n+1} + \frac{(-1)^n}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}]$

$n$ が偶数のとき、$a_n = \frac{1}{\pi} [\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}] = \frac{1}{\pi} \frac{2}{n+1} = \frac{2}{\pi(n+1)}$

$n$ が奇数のとき、$a_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}] = \frac{1}{\pi} (-\frac{2}{n-1}) = - \frac{2}{\pi(n-1)}$

したがって

$n$が偶数のとき $a_n = \frac{2}{\pi} \frac{n-1+n+1}{(n-1)(n+1)} (-1) = \frac{2}{\pi} \frac{2n}{1-n^2}$

$a_{2k} = \frac{2}{\pi} \frac{4k}{1 - (2k)^2} = \frac{8k}{\pi(1-4k^2)}$

$a_n = \frac{2}{\pi} [\frac{(-1)^n(n-1) + (-1)^n(n+1) + (n-1) - (n+1)}{(n^2-1)}] = \frac{2}{\pi} [\frac{2n(-1)^n-2}{n^2-1}]$

したがって $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \cos nx dx = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)] dx = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos((n+1)x)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)x)}{n-1}]_0^\pi = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)\pi)}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}] = \frac{1}{\pi} [-\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}] = \frac{1}{\pi} [\frac{(-1)^n}{n+1} + \frac{(-1)^n}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}] = \frac{1}{\pi} [\frac{(-1)^n (n-1 + n+1) + n-1 - n -1}{(n^2-1)}] = \frac{1}{\pi} [\frac{2n(-1)^n -2}{n^2-1}] = \frac{2}{\pi} \frac{n((-1)^n - 1)}{n^2-1}$

$n$ が偶数なら、 $a_n = \frac{2}{\pi} \frac{n(1-1)}{n^2-1} = 0$

$n$ が奇数なら、$a_n = \frac{2}{\pi} \frac{n(-2)}{n^2-1} = \frac{-4n}{\pi(n^2-1)}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{2}{\pi} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4(2k)}{\pi((2k)^2-1)} \cos(2kx) = \frac{2}{\pi} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{8k}{\pi(4k^2-1)} \cos(2kx)$

## 問題２

1. 問題の内容

$\epsilon > 0$ とし、関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$ のフーリエ変換 $F(u)$ を求め、さらに $\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

フーリエ変換は以下の式で定義されます。

$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-iux} dx$

与えられた関数 $f(x)$ を代入すると

$F(u) = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{1}{2\epsilon} e^{-iux} dx = \frac{1}{2\epsilon} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} e^{-iux} dx = \frac{1}{2\epsilon} [\frac{e^{-iux}}{-iu}]_{-\epsilon}^{\epsilon} = \frac{1}{2\epsilon} \frac{e^{iu\epsilon} - e^{-iu\epsilon}}{iu} = \frac{1}{2\epsilon} \frac{2i\sin(u\epsilon)}{iu} = \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

次に、$\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求めます。

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いると、

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon} = 1$

3. 最終的な答え

フーリエ変換 $F(u) = \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = 1$