直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、直線上の点 $(0, 5)$ で交わる直線を求めよ。

## 問題の解答

以下に、提示された数学の問題の解答を示します。

### 問題1

1. 問題の内容

直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、直線上の点 $(0, 5)$ で交わる直線を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の傾きを求めます。$y = \sqrt{3}x + 5$ の傾きは $\sqrt{3}$ です。

この傾きを $\tan \theta$ とすると、$\tan \theta = \sqrt{3}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

求める直線と与えられた直線のなす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であるので、求める直線の傾きを $m$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$\tan(\theta \pm \frac{\pi}{3}) = \frac{\tan \theta \pm \tan \frac{\pi}{3}}{1 \mp \tan \theta \tan \frac{\pi}{3}}$

$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ なので、

$m = \tan(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$

または

$m = \tan(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = \tan(0) = 0$

求める直線は点 $(0, 5)$ を通るので、$y = mx + 5$ と表せます。

したがって、求める直線は $y = -\sqrt{3}x + 5$ または $y = 5$ です。

3. 最終的な答え

$y = -\sqrt{3}x + 5$ または $y = 5$

### 問題2

1. 問題の内容

$\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \sin(\theta + \frac{4\pi}{3})$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

積和の公式を利用します。

$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$

$\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \sin(\theta + \frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{2} [\cos((\theta + \frac{2\pi}{3}) - (\theta + \frac{4\pi}{3})) - \cos((\theta + \frac{2\pi}{3}) + (\theta + \frac{4\pi}{3}))]$

$= \frac{1}{2} [\cos(-\frac{2\pi}{3}) - \cos(2\theta + 2\pi)]$

$= \frac{1}{2} [\cos(\frac{2\pi}{3}) - \cos(2\theta)]$

$= \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} - \cos(2\theta)]$

したがって、

$\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \sin(\theta + \frac{4\pi}{3}) = \sin \theta - \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} - \cos(2\theta)]$

$= \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos(2\theta)$

$= \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 \theta)$

$= \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \sin^2 \theta$

$= -\sin^2 \theta + \sin \theta + \frac{3}{4}$

$= -(\sin^2 \theta - \sin \theta) + \frac{3}{4}$

$= -(\sin \theta - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$

$= -(\sin \theta - \frac{1}{2})^2 + 1$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、与式は最大値 $1$ となります。

ここで、恒等式で計算できないか検討します。

$\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \sin(\theta + \frac{4\pi}{3}) = \sin \theta - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} - \cos 2\theta) = \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 2\theta$

$= \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 \theta) = \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \sin^2 \theta = - \sin^2 \theta + \sin \theta + \frac{3}{4}$

$\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \sin(\theta + \frac{4\pi}{3}) = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$

### 問題3

1. 問題の内容

$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ を $\sin(\theta + \alpha)$ の形で表し、その最大値と最小値を求めよ。ただし、$-\pi \le \theta \le \pi$

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2(\frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta)$

$= 2(\cos(\frac{\pi}{3}) \sin \theta - \sin(\frac{\pi}{3}) \cos \theta)$

$= 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

$-\pi \le \theta \le \pi$ より、$-\pi - \frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \pi - \frac{\pi}{3}$

つまり、$-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ の最大値は $1$ ( $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ つまり $\theta = \frac{5\pi}{6}$ )

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ の最小値は $-1$ ( $\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}$ つまり $\theta = -\frac{\pi}{6}$ )

したがって、

最大値は $2 \cdot 1 = 2$

最小値は $2 \cdot (-1) = -2$

3. 最終的な答え

$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

最大値: $2$

最小値: $-2$

### 問題4

1. 問題の内容

$\cos 2\theta > \sin \theta$ を解け。ただし、$0 \le \theta \le 2\pi$

2. 解き方の手順

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いて、不等式を $\sin \theta$ で表します。

$1 - 2\sin^2 \theta > \sin \theta$

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 < 0$

$(2\sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) < 0$

$-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le 2\pi$ において、$\sin \theta = -1$ となるのは $\theta = \frac{3\pi}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}$ と $\theta = \frac{5\pi}{6}$

したがって、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ または $0 < \theta < \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$, $0 \le \theta < \frac{3\pi}{2}$。簡潔にまとめると、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ and $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ or $0 \leq \theta < \frac{3\pi}{2}$.

### 問題5

1. 問題の内容

$y = 4\sin \theta - \cos 2\theta + 3$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値も求めよ。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$

2. 解き方の手順

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いて、関数を $\sin \theta$ で表します。

$y = 4\sin \theta - (1 - 2\sin^2 \theta) + 3$

$= 4\sin \theta - 1 + 2\sin^2 \theta + 3$

$= 2\sin^2 \theta + 4\sin \theta + 2$

$= 2(\sin^2 \theta + 2\sin \theta + 1)$

$= 2(\sin \theta + 1)^2$

$0 \le \theta < 2\pi$ において、$-1 \le \sin \theta \le 1$

したがって、

$\sin \theta = 1$ のとき、最大値 $2(1 + 1)^2 = 2 \cdot 4 = 8$ $(\theta = \frac{\pi}{2})$

$\sin \theta = -1$ のとき、最小値 $2(-1 + 1)^2 = 0$ $(\theta = \frac{3\pi}{2})$

3. 最終的な答え

最大値: $8$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$)

最小値: $0$ ($\theta = \frac{3\pi}{2}$)

### 問題6

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ ($0 \le x \le \pi$) において、$t = \sin x + \cos x$ とおき、$y$ を $t$ の式で表すとき、次の問いに答えよ。

(1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $y$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \le \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2} \times 1$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$

ただし、$0 \le x \le \pi$なので，$t$ の最小値は $1$でなくてはならない. $\pi/4 \leq x+\pi/4 \leq 5\pi/4$だから，$t$の最小値は，$x+\pi/4 = 5\pi/4 \Leftrightarrow x = \pi$のときで，$t = \sin \pi + \cos \pi = -1$.

$t$の取り得る値の範囲は，$[-1, \sqrt{2}]$.

(2)

$y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x = \sin x \cos x (\sin x + \cos x + 1)$

$t = \sin x + \cos x$ より、$t^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$

$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

$y = \frac{t^2 - 1}{2} (t + 1) = \frac{1}{2} (t^2 - 1)(t + 1) = \frac{1}{2} (t - 1)(t + 1)^2$

$y = \frac{1}{2} (t-1)(t+1)^2$

$t \in [-1, \sqrt{2}]$ における $y$ の最小値を求める。

$y' = \frac{1}{2}[(t-1)2(t+1) + (t+1)^2] = \frac{1}{2}(t+1)[2(t-1) + (t+1)] = \frac{1}{2}(t+1)(3t-1)$.

$y' = 0$ のとき、$t=-1$ または $t=1/3$.

$t=-1$ のとき、$y = 0$.

$t=1/3$ のとき、$y = \frac{1}{2}(1/3-1)(1/3+1)^2 = \frac{1}{2}(-2/3)(16/9) = -\frac{16}{27}$

$t=\sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)^2 = \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)(3+2\sqrt{2}) = 2+\frac{\sqrt{2}}{2} > 0$

最小値は $-\frac{16}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \le t \le \sqrt{2}$

(2) $-\frac{16}{27}$

### 問題7

1. 問題の内容

$3\sin x + \cos x = 3$ が成り立つとき、$\sin 2x$ の値を求めよ。ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

$3\sin x + \cos x = 3$

両辺を2乗すると、

$(3\sin x + \cos x)^2 = 3^2$

$9\sin^2 x + 6\sin x \cos x + \cos^2 x = 9$

$9\sin^2 x + 6\sin x \cos x + \cos^2 x - 9 = 0$

$9\sin^2 x + \cos^2 x = 9(1-\sin^2 x)+\cos^2 x=9\cos^2 x+\cos^2 x=10\cos^2 x$

したがって、$10\cos^2 x + 6\sin x \cos x = 9$

$9\sin^2 x + \cos^2 x + 6\sin x \cos x = 9$

$9\sin^2 x + 1 - \sin^2 x + 6\sin x \cos x = 9$

$8\sin^2 x + 6\sin x \cos x - 8 = 0$

$4\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 4 = 0$

$\cos^2x + \sin^2x = 1$,

なので、

$\cos x = 3 - 3 \sin x$.

$\cos^2x = (3 - 3 \sin x)^2 = 9(1 - \sin x)^2 = 9(1 - 2 \sin x + \sin^2x) = 9 - 18 \sin x + 9 \sin^2x$

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

$1 - \sin^2 x = 9 - 18 \sin x + 9 \sin^2 x$

$10\sin^2 x - 18\sin x + 8 = 0$

$5\sin^2 x - 9\sin x + 4 = 0$

$(5\sin x - 4)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = \frac{4}{5}$ または $\sin x = 1$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin x = \frac{4}{5}$ のとき $\cos x = 3 - 3 \sin x = 3 - 3(\frac{4}{5}) = 3 - \frac{12}{5} = \frac{3}{5}$

$\sin x = 1$ のとき $\cos x = 3 - 3(1) = 0$ (ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ なので不適)

したがって、$\sin x = \frac{4}{5}, \cos x = \frac{3}{5}$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{24}{25}$