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与えられた積分を計算します。積分は $\int \sin(\pi x) dx$ です。

解析学積分三角関数置換積分
2025/7/14

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は ∫sin⁡(πx)dx\int \sin(\pi x) dx です。

2. 解き方の手順

∫sin⁡(πx)dx\int \sin(\pi x) dx を計算します。
まず、u=πxu = \pi x と置換します。すると、du=πdxdu = \pi dx となり、dx=1πdudx = \frac{1}{\pi} du となります。
したがって、積分は
∫sin⁡(u)1πdu=1π∫sin⁡(u)du\int \sin(u) \frac{1}{\pi} du = \frac{1}{\pi} \int \sin(u) du
となります。
∫sin⁡(u)du=−cos⁡(u)+C\int \sin(u) du = -\cos(u) + C であるので、
1π∫sin⁡(u)du=1π(−cos⁡(u))+C=−1πcos⁡(u)+C\frac{1}{\pi} \int \sin(u) du = \frac{1}{\pi}(-\cos(u)) + C = -\frac{1}{\pi} \cos(u) + C
となります。
最後に、u=πxu = \pi x を代入して、
−1πcos⁡(πx)+C-\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) + C
となります。

3. 最終的な答え

−1πcos⁡(πx)+C-\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) + C

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