定積分 $\int_0^2 e^x \sqrt{e^x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^2 e^x \sqrt{e^x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{e^x} = (e^x)^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{x}{2}}$ であることを利用して、積分を書き換えます。

$$\int_0^2 e^x \sqrt{e^x} dx = \int_0^2 e^x e^{\frac{x}{2}} dx = \int_0^2 e^{\frac{3}{2}x} dx$$

次に、置換積分を行います。$u = \frac{3}{2}x$ とおくと、$du = \frac{3}{2} dx$ となり、$dx = \frac{2}{3} du$ です。また、積分の範囲も変更します。$x = 0$ のとき $u = 0$、$x = 2$ のとき $u = \frac{3}{2}(2) = 3$ となります。したがって、

$$\int_0^2 e^{\frac{3}{2}x} dx = \int_0^3 e^u \frac{2}{3} du = \frac{2}{3} \int_0^3 e^u du$$

指数関数の積分は $\int e^u du = e^u + C$ であるから、

$$\frac{2}{3} \int_0^3 e^u du = \frac{2}{3} [e^u]_0^3 = \frac{2}{3} (e^3 - e^0) = \frac{2}{3} (e^3 - 1)$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} (e^3 - 1)$