与えられた積分 $\int \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})}$ は $\sec^2(\frac{x}{2})$ と書き換えられます。

したがって、積分は $\int \sec^2(\frac{x}{2}) dx$ となります。

$\tan(x)$ の微分が $\sec^2(x)$ であることを利用して、置換積分を行います。

$u = \frac{x}{2}$ と置くと、$du = \frac{1}{2} dx$ となります。

したがって、$dx = 2 du$ です。

積分は次のように書き換えられます。

$\int \sec^2(u) (2 du) = 2 \int \sec^2(u) du$

$\sec^2(u)$ の積分は $\tan(u)$ なので、

$2 \int \sec^2(u) du = 2 \tan(u) + C$

ここで、$u = \frac{x}{2}$ を代入すると、

$2 \tan(\frac{x}{2}) + C$

となります。

3. 最終的な答え

$2 \tan(\frac{x}{2}) + C$