与えられた積分の問題を解きます。 積分は $\int \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。

積分は $\int \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。$\frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} = \sec^2(\frac{x}{2})$ なので、積分は次のようになります。

$\int \sec^2(\frac{x}{2}) dx$

ここで、置換積分を行います。$u = \frac{x}{2}$ と置くと、$du = \frac{1}{2} dx$ となり、$dx = 2du$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int \sec^2(u) \cdot 2 du = 2 \int \sec^2(u) du$

$\sec^2(u)$ の積分は $\tan(u)$ であるので、

$2 \int \sec^2(u) du = 2 \tan(u) + C$

ここで、$u$ を $\frac{x}{2}$ に戻すと、

$2 \tan(\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、$2 \tan(\frac{x}{2}) + C$ です。