関数 $f(x) = x(3 - 2\log x)$ ($x > 0$) が与えられている。 (1) $f'(x)$を求める。 (2) $f(x)$の増減と極値を調べ、$y = f(x)$のグラフの概形を描く。 (3) 原点O、点A$(t, f(t))$、点B$(\log t, 0)$からなる三角形OABの面積の最大値を$1 < t < e^{\frac{3}{2}}$の範囲で求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(3 - 2\log x)$ ($x > 0$) が与えられている。

(1) $f'(x)$を求める。

(2) $f(x)$の増減と極値を調べ、$y = f(x)$のグラフの概形を描く。

(3) 原点O、点A$(t, f(t))$、点B$(\log t, 0)$からなる三角形OABの面積の最大値を$1 < t < e^{\frac{3}{2}}$の範囲で求める。

2. 解き方の手順

(1) 導関数の計算

$f(x) = x(3 - 2\log x) = 3x - 2x\log x$

$f'(x) = 3 - 2(\log x + x \cdot \frac{1}{x}) = 3 - 2(\log x + 1) = 3 - 2\log x - 2 = 1 - 2\log x$

(2) 増減と極値の計算

$f'(x) = 1 - 2\log x = 0$ を解くと $\log x = \frac{1}{2}$、つまり $x = e^{\frac{1}{2}}$。

$x < e^{\frac{1}{2}}$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$x > e^{\frac{1}{2}}$ のとき $f'(x) < 0$ である。

したがって、$f(x)$は$x = e^{\frac{1}{2}}$ で極大値をとる。

$f(e^{\frac{1}{2}}) = e^{\frac{1}{2}}(3 - 2\log e^{\frac{1}{2}}) = e^{\frac{1}{2}}(3 - 2 \cdot \frac{1}{2}) = 2e^{\frac{1}{2}}$。

$x \to +0$ のとき $f(x) = 3x - 2x\log x \to 0$。

グラフの概形は、x軸との交点は、$f(x) = x(3 - 2\log x) = 0$ より $x = 0$ または $\log x = \frac{3}{2}$、つまり $x = e^{\frac{3}{2}}$。

$f(x)$は $x > 0$ で定義され、$x = e^{\frac{3}{2}}$ で x 軸と交わる。

(3) 三角形の面積の最大値を求める

点Aの座標は$(t, f(t)) = (t, t(3 - 2\log t))$。点Bの座標は$(\log t, 0)$。原点はO$(0, 0)$。

三角形OABの面積を$S$とすると、

$S = \frac{1}{2} |t \cdot 0 - \log t \cdot t(3 - 2\log t)| = \frac{1}{2} | -t \log t(3 - 2\log t)| = \frac{1}{2} t \log t (3 - 2\log t)$

($1 < t < e^{\frac{3}{2}}$より、$\log t > 0$ かつ $3 - 2\log t > 0$ なので絶対値を外せる)

$S = \frac{1}{2}t \log t(3 - 2\log t)$

$\log t = u$ とおくと、 $0 < u < \frac{3}{2}$ であり、 $t = e^u$。

$S = \frac{1}{2} e^u u (3 - 2u) = \frac{1}{2} e^u (3u - 2u^2)$

$\frac{dS}{du} = \frac{1}{2} e^u (3u - 2u^2) + \frac{1}{2} e^u (3 - 4u) = \frac{1}{2} e^u (3u - 2u^2 + 3 - 4u) = \frac{1}{2} e^u (-2u^2 - u + 3)$

$\frac{dS}{du} = 0$ を解くと $-2u^2 - u + 3 = 0$、つまり $2u^2 + u - 3 = 0$。

$(2u + 3)(u - 1) = 0$ より $u = 1, -\frac{3}{2}$。$0 < u < \frac{3}{2}$ より $u = 1$。

$u < 1$ のとき $\frac{dS}{du} > 0$ であり、$u > 1$ のとき $\frac{dS}{du} < 0$ である。

したがって、$u = 1$ で $S$ は最大値をとる。$u = 1$ のとき $t = e$。

$S = \frac{1}{2} e^1 (3\cdot 1 - 2\cdot 1^2) = \frac{1}{2} e (3 - 2) = \frac{1}{2} e$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 1 - 2\log x$

(2) $x = e^{\frac{1}{2}}$ で極大値 $2e^{\frac{1}{2}}$ をとる。

(3) $\frac{e}{2}$