与えられた積分 $\int_{0}^{1} \log(x+1) \, dx$ を計算します。ここで、$\log$ は自然対数を表します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int_{0}^{1} \log(x+1) \, dx$ を計算します。ここで、$\log$ は自然対数を表します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

ここでは、

$u = \log(x+1)$

$dv = dx$

とします。

すると、

$du = \frac{1}{x+1} \, dx$

$v = x$

となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int_{0}^{1} \log(x+1) \, dx = \left[ x \log(x+1) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x+1} \, dx$

右辺第一項は、

$\left[ x \log(x+1) \right]_{0}^{1} = 1 \cdot \log(1+1) - 0 \cdot \log(0+1) = \log(2) - 0 = \log 2$

右辺第二項は、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x+1} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{x+1-1}{x+1} \, dx = \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{1}{x+1}\right) \, dx = \int_{0}^{1} dx - \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \, dx$

$= \left[ x \right]_{0}^{1} - \left[ \log(x+1) \right]_{0}^{1} = (1 - 0) - (\log(1+1) - \log(0+1)) = 1 - (\log 2 - \log 1) = 1 - \log 2$

したがって、

$\int_{0}^{1} \log(x+1) \, dx = \log 2 - (1 - \log 2) = \log 2 - 1 + \log 2 = 2 \log 2 - 1$

3. 最終的な答え

$2\log 2 - 1$