関数 $f(x, y) = \arctan(\frac{y}{x})$ について、二階偏導関数 $f_{xx}(x, y)$, $f_{xy}(x, y)$, $f_{yy}(x, y)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \arctan(\frac{y}{x})$ について、二階偏導関数 $f_{xx}(x, y)$, $f_{xy}(x, y)$, $f_{yy}(x, y)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、一階偏導関数を求めます。

$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \arctan(\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$

$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \arctan(\frac{y}{x}) = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{x}{x^2 + y^2}$

次に、二階偏導関数を求めます。

$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} f_x = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{y}{x^2 + y^2}) = -y \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2)^{-1} = -y \cdot (-1) (x^2 + y^2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} f_x = \frac{\partial}{\partial y} (-\frac{y}{x^2 + y^2}) = -\frac{1 \cdot (x^2 + y^2) - y \cdot (2y)}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{x^2 + y^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} f_y = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x}{x^2 + y^2}) = x \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2)^{-1} = x \cdot (-1) (x^2 + y^2)^{-2} \cdot (2y) = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

3. 最終的な答え

$f_{xx}(x, y) = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

$f_{xy}(x, y) = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$f_{yy}(x, y) = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$