与えられた4つの関数について、n階導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。関数は以下の通りです。 (1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ (2) $y = \sqrt{1+x}$ (3) $y = x^2 \sin x$ (4) $y = (\frac{e}{x})^3 = e^3x^{-3}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、n階導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。関数は以下の通りです。

(1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$

(2) $y = \sqrt{1+x}$

(3) $y = x^2 \sin x$

(4) $y = (\frac{e}{x})^3 = e^3x^{-3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ の場合:

まず、$y = \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x=1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x=-1$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

よって、$y = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$

$\frac{d^n}{dx^n} \frac{1}{x-a} = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$ を利用すると、

$y^{(n)} = \frac{1}{2} \left( \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} \right) = \frac{(-1)^n n!}{2} \left( \frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}} \right)$

(2) $y = \sqrt{1+x}$ の場合:

$y = (1+x)^{1/2}$

$y' = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$

$y'' = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(1+x)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$

$y''' = -\frac{1}{4}(-\frac{3}{2})(1+x)^{-5/2} = \frac{3}{8}(1+x)^{-5/2}$

一般に、$y^{(n)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2) \cdots (\frac{1}{2} - (n-1))(1+x)^{1/2 - n} = \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

ここで、$(2n-3)!! = (2n-3)(2n-5)\cdots 3 \cdot 1$

(3) $y = x^2 \sin x$ の場合:

ライプニッツの公式を利用します。$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k (x^2)^{(k)} (\sin x)^{(n-k)}$

$(x^2)^{(0)} = x^2$, $(x^2)^{(1)} = 2x$, $(x^2)^{(2)} = 2$, $(x^2)^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$

$y^{(n)} = x^2 (\sin x)^{(n)} + n(2x) (\sin x)^{(n-1)} + \frac{n(n-1)}{2}(2) (\sin x)^{(n-2)}$

$= x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

(4) $y = (\frac{e}{x})^3 = e^3 x^{-3}$ の場合:

$y^{(n)} = e^3 \frac{d^n}{dx^n} x^{-3}$

$\frac{d^n}{dx^n} x^{-3} = (-3)(-4) \cdots (-3-n+1) x^{-3-n} = (-1)^n \frac{(n+2)!}{2} x^{-n-3}$

$y^{(n)} = e^3 (-1)^n \frac{(n+2)!}{2} x^{-n-3} = (-1)^n e^3 \frac{(n+2)!}{2 x^{n+3}}$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{2} \left( \frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}} \right)$

(2) $y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

(3) $y^{(n)} = x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

(4) $y^{(n)} = (-1)^n e^3 \frac{(n+2)!}{2 x^{n+3}}$