定積分 $\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x(x+2) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

これは、$x=0$ または $x=-2$ です。

したがって、$x(x+2)$ は、$x<-2$ または $x>0$ の範囲で正であり、$-2 < x < 0$ の範囲で負です。

積分区間 $[-1, 3]$ において、$x(x+2)$ は $-1 < x < 0$ で負であり、$0 < x < 3$ で正です。

したがって、積分を2つの区間に分けて計算します。

$\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx = \int_{-1}^{0} |x(x+2)| dx + \int_{0}^{3} |x(x+2)| dx$

$\int_{-1}^{0} |x(x+2)| dx = \int_{-1}^{0} -x(x+2) dx = \int_{-1}^{0} (-x^2 - 2x) dx$

$= [-\frac{1}{3}x^3 - x^2]_{-1}^{0} = (0) - (-\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2) = -( \frac{1}{3} - 1) = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$

$\int_{0}^{3} |x(x+2)| dx = \int_{0}^{3} x(x+2) dx = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 + x^2]_{0}^{3} = (\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2) - (0) = \frac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18$

$\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx = \frac{2}{3} + 18 = \frac{2}{3} + \frac{54}{3} = \frac{56}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{56}{3}$