次の関数の極値を求めます。 (1) $y = x^2 e^{-x}$ (2) $y = \frac{x}{\log x}$ (3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$ (4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

1. 問題の内容

次の関数の極値を求めます。

(1) $y = x^2 e^{-x}$

(2) $y = \frac{x}{\log x}$

(3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$

(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 e^{-x}$

まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2-x)e^{-x}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x} > 0$ なので、$x(2-x) = 0$ より $x = 0, 2$

次に、二階導関数 $y''$ を求めます。

$y'' = (2-2x)e^{-x} + x(2-x)(-e^{-x}) = e^{-x}(2-2x - 2x + x^2) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2)$

$x = 0$ のとき、$y'' = 2 > 0$ なので、$x = 0$ で極小値 $y = 0$ をとります。

$x = 2$ のとき、$y'' = e^{-2}(4 - 8 + 2) = -2e^{-2} < 0$ なので、$x = 2$ で極大値 $y = 4e^{-2}$ をとります。

(2) $y = \frac{x}{\log x}$

まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{\log x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。$\frac{\log x - 1}{(\log x)^2} = 0$ より $\log x = 1$ よって $x = e$

次に、二階導関数 $y''$ を求めます。

$y'' = \frac{\frac{1}{x}(\log x)^2 - (\log x - 1)2(\log x)\frac{1}{x}}{(\log x)^4} = \frac{\frac{1}{x}\log x (\log x - 2(\log x - 1))}{(\log x)^4} = \frac{\log x - 2\log x + 2}{x(\log x)^3} = \frac{2 - \log x}{x(\log x)^3}$

$x = e$ のとき、$y'' = \frac{2 - \log e}{e(\log e)^3} = \frac{2-1}{e} = \frac{1}{e} > 0$ なので、$x = e$ で極小値 $y = \frac{e}{\log e} = e$ をとります。

(3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$

まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = -\frac{4}{x^5} + \frac{4}{(1-x)^5} = 4(\frac{1}{(1-x)^5} - \frac{1}{x^5})$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。 $\frac{1}{(1-x)^5} = \frac{1}{x^5}$ より $(1-x)^5 = x^5$ よって $1-x = x$ より $2x = 1$ なので $x = \frac{1}{2}$

次に、二階導関数 $y''$ を求めます。

$y'' = \frac{20}{x^6} + \frac{20}{(1-x)^6}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y'' = 20 \cdot 2^6 + 20 \cdot 2^6 = 20 \cdot 2^7 > 0$ なので、$x = \frac{1}{2}$ で極小値 $y = \frac{1}{(\frac{1}{2})^4} + \frac{1}{(\frac{1}{2})^4} = 2^4 + 2^4 = 16 + 16 = 32$ をとります。

(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

まず、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 2\cos x - 2\sin 2x = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x (1 - 2\sin x)$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。 $\cos x = 0$ または $1 - 2\sin x = 0$

$\cos x = 0$ より $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\sin x = \frac{1}{2}$ より $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$y'' = -2\sin x - 4\cos 2x$

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき、$y'' = -2\sin \frac{\pi}{6} - 4\cos \frac{\pi}{3} = -2 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} = -1 - 2 = -3 < 0$ なので極大値 $y = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{5\pi}{6}$ のとき、$y'' = -2\sin \frac{5\pi}{6} - 4\cos \frac{5\pi}{3} = -2 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} = -1 - 2 = -3 < 0$ なので極大値 $y = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y'' = -2\sin \frac{\pi}{2} - 4\cos \pi = -2(1) - 4(-1) = -2 + 4 = 2 > 0$ なので極小値 $y = 2(1) + (-1) = 1$

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$y'' = -2\sin \frac{3\pi}{2} - 4\cos 3\pi = -2(-1) - 4(-1) = 2 + 4 = 6 > 0$ なので極小値 $y = 2(-1) + (-1) = -3$

3. 最終的な答え

(1) $x=0$ で極小値 $0$, $x=2$ で極大値 $4e^{-2}$

(2) $x=e$ で極小値 $e$

(3) $x=\frac{1}{2}$ で極小値 $32$

(4) $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ で極大値 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$ で極小値 $1$, $x = \frac{3\pi}{2}$ で極小値 $-3$