与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos{x}} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos{x}} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\cos{x}}$ を変形します。

$$\frac{1}{\cos{x}} = \frac{\cos{x}}{\cos^2{x}} = \frac{\cos{x}}{1 - \sin^2{x}}$$

ここで、$u = \sin{x}$ とおくと、$du = \cos{x} dx$ となります。

積分範囲も変更します。

$x=0$ のとき、$u = \sin{0} = 0$

$x=\frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{1-u^2} du$$

被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{1}{1-u^2} = \frac{1}{(1-u)(1+u)} = \frac{A}{1-u} + \frac{B}{1+u}$$

両辺に $(1-u)(1+u)$ をかけると、

$$1 = A(1+u) + B(1-u)$$

$u = 1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$u = -1$ のとき、$1 = 2B$ より $B = \frac{1}{2}$

よって、

$$\frac{1}{1-u^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u} \right)$$

したがって、積分は

$$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u} \right) du = \frac{1}{2} \left[ -\ln|1-u| + \ln|1+u| \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \ln\left| \frac{1+u}{1-u} \right| \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \ln \left( \frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}} \right) - \ln(1) \right]$$

$$= \frac{1}{2} \ln \left( \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{(2+\sqrt{2})^2}{4-2} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{4+4\sqrt{2}+2}{2} \right) = \frac{1}{2} \ln(3+2\sqrt{2})$$

$$= \frac{1}{2} \ln( (1+\sqrt{2})^2 ) = \ln(1+\sqrt{2})$$

3. 最終的な答え

$\ln(1+\sqrt{2})$