$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲において、方程式 $\sqrt{2} \sin \theta = k$ の解の個数が1個となるときの、実数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲において、方程式 $\sqrt{2} \sin \theta = k$ の解の個数が1個となるときの、実数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$\sin \theta = \frac{k}{\sqrt{2}}$

$y = \sin \theta$ のグラフを $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えます。

$\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$\sin \theta$ は $0$ から $1$ まで増加します。

したがって、$0 \le \sin \theta \le 1$ です。

方程式 $\sqrt{2} \sin \theta = k$ の解が1個となるのは、以下のいずれかの場合です。

* $\frac{k}{\sqrt{2}} = 0$ のとき、つまり $\sin \theta = 0$ となり、$\theta = 0$ のときです。

* $\frac{k}{\sqrt{2}} = 1$ のとき、つまり $\sin \theta = 1$ となり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のときです。

* $0 < \frac{k}{\sqrt{2}} < 1$ のとき、つまり $0 < \sin \theta < 1$ となり、解は1つです。

$\sin \theta = \frac{k}{\sqrt{2}}$ であることから、

$0 \le \frac{k}{\sqrt{2}} \le 1$ を満たす $k$ の範囲を求めます。

各辺に $\sqrt{2}$ を掛けると、

$0 \le k \le \sqrt{2}$

したがって、解が1個となるのは、$0 \le k \le \sqrt{2}$ の範囲です。

3. 最終的な答え

$0 \le k \le \sqrt{2}$