次の3つの関数 $f(x)$ について、$n$ 次導関数 ($n \geq 1$) を求める問題です。 a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ b) $f(x) = \log(1-x)$ c) $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$

1. 問題の内容

次の3つの関数 $f(x)$ について、$n$ 次導関数 ($n \geq 1$) を求める問題です。

a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$

b) $f(x) = \log(1-x)$

c) $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$

2. 解き方の手順

a) $f(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$ の場合

まず、いくつかの導関数を計算してパターンを見つけます。

$f'(x) = -1(1+x)^{-2}$

$f''(x) = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}$

$f'''(x) = (2)(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}$

一般に、$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)}$ と推測できます。

数学的帰納法で証明します。

$n=1$ のとき、$f'(x) = (-1)^1 1! (1+x)^{-2} = -(1+x)^{-2}$ であり、これは正しいです。

$n=k$ で正しいと仮定します。すなわち、$f^{(k)}(x) = (-1)^k k! (1+x)^{-(k+1)}$ です。

$n=k+1$ のとき、

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} [(-1)^k k! (1+x)^{-(k+1)}] = (-1)^k k! [-(k+1)(1+x)^{-(k+2)}] = (-1)^{k+1} (k+1)! (1+x)^{-(k+2)}$

したがって、$n=k+1$ でも正しいので、数学的帰納法により、$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)}$ が成り立ちます。

b) $f(x) = \log(1-x)$ の場合

$f'(x) = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

$f''(x) = -(-1)(-1)(1-x)^{-2} = -(1-x)^{-2}$

$f'''(x) = -(-2)(-1)(1-x)^{-3} = -2(1-x)^{-3}$

一般に、$f^{(n)}(x) = -(n-1)! (1-x)^{-n}$ と推測できます。(ただし、$n \geq 1$)

より正確には、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n} (n-1)! (1-x)^{-n}$

数学的帰納法で証明します。

$n=1$ のとき、$f'(x) = \frac{-1}{1-x}$ であり、正しいです。

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n} (n-1)! (1-x)^{-n}$と仮定します。

$f^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx}f^{(n)}(x) = (-1)^{n} (n-1)! (-n) (1-x)^{-n-1} (-1) = (-1)^{n+1}n!(1-x)^{-(n+1)}$

c) $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$ の場合

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) (1+x)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4} (1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$f'''(x) = -\frac{1}{4} (-\frac{3}{2}) (1+x)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8} (1+x)^{-\frac{5}{2}}$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2) \dots (\frac{1}{2} - (n-1)) (1+x)^{\frac{1}{2} - n} = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) (-\frac{3}{2}) \dots (\frac{3}{2}-n) (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (2n-3)!!}{2^n} (1+x)^{\frac{1}{2} - n}$

ここで、$(2n-3)!! = (2n-3) \times (2n-5) \times \dots \times 1$ です。

3. 最終的な答え

a) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

b) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(1-x)^{n}}$

c) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (2n-3)!!}{2^n (1+x)^{n-\frac{1}{2}}}$

ここで、$n \geq 2$ であり $(2n-3)!! = (2n-3) \times (2n-5) \times \dots \times 1$ です。

$n=1$ の場合は $f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$ となります。