領域 $D = \{(x, y) | x > 0\}$ 上の2変数関数 $f(x,y) = x^5 - x^2y + y^2$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x > 0\}$ 上の2変数関数 $f(x,y) = x^5 - x^2y + y^2$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

極値を求めるために、まず偏微分を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 5x^4 - 2xy$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -x^2 + 2y$

次に、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす点を求めます。

$5x^4 - 2xy = 0$ ...(1)

$-x^2 + 2y = 0$ ...(2)

(2)より、$y = \frac{x^2}{2}$ が得られます。これを(1)に代入すると、

$5x^4 - 2x(\frac{x^2}{2}) = 0$

$5x^4 - x^3 = 0$

$x^3(5x - 1) = 0$

$x>0$なので、$x = \frac{1}{5}$となります。

このとき、$y = \frac{(\frac{1}{5})^2}{2} = \frac{1}{50}$となります。

したがって、停留点は $(\frac{1}{5}, \frac{1}{50})$ です。

次に、ヘッセ行列を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 20x^3 - 2y$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -2x$

ヘッセ行列式 $D(x,y) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$D(x,y) = (20x^3 - 2y)(2) - (-2x)^2 = 40x^3 - 4y - 4x^2$

停留点 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{50})$ におけるヘッセ行列式を計算します。

$D(\frac{1}{5}, \frac{1}{50}) = 40(\frac{1}{5})^3 - 4(\frac{1}{50}) - 4(\frac{1}{5})^2 = 40(\frac{1}{125}) - \frac{4}{50} - 4(\frac{1}{25}) = \frac{40}{125} - \frac{2}{25} - \frac{4}{25} = \frac{8}{25} - \frac{2}{25} - \frac{4}{25} = \frac{2}{25} > 0$

$f_{xx}(\frac{1}{5}, \frac{1}{50}) = 20(\frac{1}{5})^3 - 2(\frac{1}{50}) = 20(\frac{1}{125}) - \frac{1}{25} = \frac{4}{25} - \frac{1}{25} = \frac{3}{25} > 0$

$D(\frac{1}{5}, \frac{1}{50}) > 0$ かつ $f_{xx}(\frac{1}{5}, \frac{1}{50}) > 0$ なので、$(\frac{1}{5}, \frac{1}{50})$ は極小値を取ります。

極小値は $f(\frac{1}{5}, \frac{1}{50}) = (\frac{1}{5})^5 - (\frac{1}{5})^2(\frac{1}{50}) + (\frac{1}{50})^2 = \frac{1}{3125} - \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{50} + \frac{1}{2500} = \frac{1}{3125} - \frac{1}{1250} + \frac{1}{2500} = \frac{2}{6250} - \frac{5}{6250} + \frac{2.5}{6250} = \frac{-0.5}{6250} = -\frac{1}{12500}$

3. 最終的な答え

極小値: $(\frac{1}{5}, \frac{1}{50})$ で $f(\frac{1}{5}, \frac{1}{50}) = -\frac{1}{12500}$