数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{3}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{3}{2^3}, \frac{5}{2^3}, \frac{7}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{3}{2^4}, \dots, \frac{15}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \dots$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{1}{2^n}$ は第何項か。 (2) 第1000項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{3}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{3}{2^3}, \frac{5}{2^3}, \frac{7}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{3}{2^4}, \dots, \frac{15}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \dots$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{1}{2^n}$ は第何項か。

(2) 第1000項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列を分母が同じ項ごとにグループ分けします。

分母が $2^k$ である項の個数は $2^{k-1}$ 個です。

$\frac{1}{2^n}$ は分母が $2^n$ であるグループの最初の項です。

したがって、$\frac{1}{2^n}$ は、それまでのグループの項数の和に1を加えたものです。

$\frac{1}{2^n}$ が現れるのは、第 $1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}$ 項です。

等比数列の和の公式を用いて、$1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$ であることがわかります。

したがって、$\frac{1}{2^n}$ は第 $2^n - 1$ 項です。

(2) 第1000項を求めるために、まず、第1000項の分母が $2$ の何乗であるかを探します。

分母が $2^k$ である項の個数は $2^{k-1}$ 個なので、

$2^{k-1}$ の累積和を考えます。

$k=1$: $2^0 = 1$

$k=2$: $1 + 2^1 = 3$

$k=3$: $3 + 2^2 = 7$

$k=4$: $7 + 2^3 = 15$

$k=5$: $15 + 2^4 = 31$

$k=6$: $31 + 2^5 = 63$

$k=7$: $63 + 2^6 = 127$

$k=8$: $127 + 2^7 = 255$

$k=9$: $255 + 2^8 = 511$

$k=10$: $511 + 2^9 = 1023$

したがって、第1000項の分母は $2^{10}$ であることがわかります。

$1000$ 番目の項は、分母が $2^{10}$ である項のグループに属します。

分母が $2^9$ である項までの累積和は $511$ なので、分母が $2^{10}$ であるグループの第 $1000 - 511 = 489$ 番目の項が第1000項です。

分母が $2^{10}$ である項の分子は、1から始まる奇数の数列になっています。

この数列の第 $m$ 項は $2m - 1$ で表されます。

したがって、分母が $2^{10}$ であるグループの第489項の分子は $2(489) - 1 = 978 - 1 = 977$ です。

よって、第1000項は $\frac{977}{2^{10}}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 第 $2^n - 1$ 項

(2) $\frac{977}{2^{10}}$