関数 $y = (x^2 + 1)^{x+1}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)^{x+1}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数は $y = f(x)^{g(x)}$ の形をしているため、両辺の自然対数をとり、対数微分法を用います。

(1) 両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln((x^2 + 1)^{x+1}) = (x+1) \ln(x^2 + 1)$

(2) 両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} ((x+1) \ln(x^2 + 1))$

(3) 右辺を積の微分法で計算します。

$\frac{d}{dx} ((x+1) \ln(x^2 + 1)) = \frac{d}{dx}(x+1) \cdot \ln(x^2 + 1) + (x+1) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x^2 + 1))$

$\frac{d}{dx}(x+1) = 1$

$\frac{d}{dx}(\ln(x^2 + 1)) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

したがって、

$\frac{d}{dx} ((x+1) \ln(x^2 + 1)) = 1 \cdot \ln(x^2 + 1) + (x+1) \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x(x+1)}{x^2 + 1}$

(4) $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x(x+1)}{x^2 + 1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x(x+1)}{x^2 + 1} \right)$

(5) $y = (x^2 + 1)^{x+1}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)^{x+1} \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x(x+1)}{x^2 + 1} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)^{x+1} \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x(x+1)}{x^2 + 1} \right)$