次の2つの問題を解きます。いずれの問題も、曲線と直線で囲まれた部分を$y$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めます。 (1) $y = 4 - x^2$ と $y = 1$ で囲まれた部分 (2) $y = 1 - \sqrt{x}$ と $x$軸, $y$軸で囲まれた部分

1. 問題の内容

次の2つの問題を解きます。いずれの問題も、曲線と直線で囲まれた部分を$y$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めます。

(1) $y = 4 - x^2$ と $y = 1$ で囲まれた部分

(2) $y = 1 - \sqrt{x}$ と $x$軸, $y$軸で囲まれた部分

2. 解き方の手順

(1) $y = 4 - x^2$ と $y = 1$ の交点を求めます。

$4 - x^2 = 1$ を解くと、$x^2 = 3$ より $x = \pm\sqrt{3}$。

$y$軸周りの回転体の体積なので、$V = \int_a^b \pi x^2 dy$ を用います。

$x^2 = 4 - y$ なので、$V = \int_1^4 \pi (4 - y) dy$ となります。

(2) $y = 1 - \sqrt{x}$ と $x$軸との交点を求めます。

$1 - \sqrt{x} = 0$ を解くと、$\sqrt{x} = 1$ より $x = 1$。

$x$軸、$y$軸との交点は、$x=0$の時、$y=1$。

$y$軸周りの回転体の体積なので、$V = \int_a^b \pi x^2 dy$ を用います。

$y = 1 - \sqrt{x}$ を $x$ について解くと、$\sqrt{x} = 1 - y$ より $x = (1 - y)^2$。

よって、$V = \int_0^1 \pi (1 - y)^4 dy$ となります。

(1)の計算：

$V = \pi \int_1^4 (4 - y) dy = \pi [4y - \frac{1}{2}y^2]_1^4 = \pi [(16 - 8) - (4 - \frac{1}{2})] = \pi [8 - \frac{7}{2}] = \frac{9}{2}\pi$

(2)の計算：

$V = \pi \int_0^1 (1 - y)^4 dy$

$u = 1 - y$ とすると、$du = -dy$。

$y = 0$ のとき $u = 1$、$y = 1$ のとき $u = 0$。

$V = \pi \int_1^0 u^4 (-du) = \pi \int_0^1 u^4 du = \pi [\frac{1}{5}u^5]_0^1 = \frac{\pi}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}\pi$

(2) $\frac{\pi}{5}$