与えられた関数について、指定された区間における平均変化率を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数について計算します。 (1) $f(x) = -3x + 1$, $x=0$ から $x=3$ まで (2) $f(x) = x^2 - 2x + 2$, $x=-1$ から $x=3$ まで (3) $f(x) = x^3 + x$, $x=1$ から $x=2$ まで

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された区間における平均変化率を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数について計算します。

(1) $f(x) = -3x + 1$, $x=0$ から $x=3$ まで

(2) $f(x) = x^2 - 2x + 2$, $x=-1$ から $x=3$ まで

(3) $f(x) = x^3 + x$, $x=1$ から $x=2$ まで

2. 解き方の手順

平均変化率は、区間の端点における関数の変化量を、区間の幅で割ることで求められます。すなわち、関数 $f(x)$ の $x=a$ から $x=b$ までの平均変化率は、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

で計算されます。

(1) $f(x) = -3x + 1$, $x=0$ から $x=3$ まで

$f(0) = -3(0) + 1 = 1$

$f(3) = -3(3) + 1 = -9 + 1 = -8$

平均変化率は、

$\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{-8 - 1}{3} = \frac{-9}{3} = -3$

(2) $f(x) = x^2 - 2x + 2$, $x=-1$ から $x=3$ まで

$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$

$f(3) = (3)^2 - 2(3) + 2 = 9 - 6 + 2 = 5$

平均変化率は、

$\frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} = \frac{5 - 5}{3 + 1} = \frac{0}{4} = 0$

(3) $f(x) = x^3 + x$, $x=1$ から $x=2$ まで

$f(1) = (1)^3 + 1 = 1 + 1 = 2$

$f(2) = (2)^3 + 2 = 8 + 2 = 10$

平均変化率は、

$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{10 - 2}{1} = \frac{8}{1} = 8$

3. 最終的な答え

(1) -3

(2) 0

(3) 8