$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{2x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{2x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うことができます。ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるとき、$f'(x)$ と $g'(x)$ が存在し、$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在すれば、

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

が成り立つというものです。

この問題では、$f(x) = \arcsin x$、$g(x) = 2x$ とすると、

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$、$g'(x) = 2$ となります。

よって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$$

$x \to 0$ のとき、$\sqrt{1-x^2} \to \sqrt{1-0^2} = 1$ となるので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$