(1) $\cos 3\theta$ を $\cos \theta$ のみで表す。 (2) 関数 $f(x) = x^3 - \frac{3}{4}x$ について、増減表を書き、$y=f(x)$ のグラフの概形を描く。また、$y=f(x)$のグラフと直線$y=k$が共有点を2つまたは3つ持つような定数$k$の値の範囲を求め、そのときの共有点のx座標の取りうる範囲を求める。 (3) 3次方程式 $x^3 - \frac{3}{4}x - \frac{1}{8} = 0$ の解を $x = \cos \theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) とおくとき、$\theta$ の値を求める。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

(1) $\cos 3\theta$ を $\cos \theta$ のみで表す。

(2) 関数 $f(x) = x^3 - \frac{3}{4}x$ について、増減表を書き、$y=f(x)$ のグラフの概形を描く。また、$y=f(x)$のグラフと直線$y=k$が共有点を2つまたは3つ持つような定数$k$の値の範囲を求め、そのときの共有点のx座標の取りうる範囲を求める。

(3) 3次方程式 $x^3 - \frac{3}{4}x - \frac{1}{8} = 0$ の解を $x = \cos \theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) とおくとき、$\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 3\theta$ の3倍角の公式を利用します。

$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$

(2) (ア)

$f(x) = x^3 - \frac{3}{4}x$

$f'(x) = 3x^2 - \frac{3}{4}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - \frac{3}{4} = 0$

$x^2 = \frac{1}{4}$

$x = \pm \frac{1}{2}$

増減表は以下の通りです。

| x | ... | -1/2 | ... | 1/2 | ... |

| -------- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、

$f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^3 - \frac{3}{4}(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 - \frac{3}{4}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

よって、極大値は $\frac{1}{4}$、極小値は $-\frac{1}{4}$ です。

この情報からグラフの概形を描けます。

(イ)

$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフが共有点を2つまたは3つ持つ条件は、

$-\frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4}$ かつ $k \ne -\frac{1}{4}, k \ne \frac{1}{4}$の場合と、$k = \pm \frac{1}{4}$の場合です。

言い換えると、 $-\frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4}$ です。

このとき、共有点のx座標は、グラフから $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$の範囲と分かります。

より正確には、$f(x) = k$となる$x$の範囲なので、$x^3 - \frac{3}{4}x = k$を満たす$x$の範囲です。

(3)

$x^3 - \frac{3}{4}x - \frac{1}{8} = 0$ に $x = \cos \theta$ を代入すると、

$\cos^3 \theta - \frac{3}{4}\cos \theta - \frac{1}{8} = 0$

$8\cos^3 \theta - 6\cos \theta - 1 = 0$

$2(4\cos^3 \theta - 3\cos \theta) - 1 = 0$

$2\cos 3\theta - 1 = 0$

$\cos 3\theta = \frac{1}{2}$

$3\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \frac{5\pi}{3} + 2n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{\pi}{9} + \frac{2n\pi}{3}, \frac{5\pi}{9} + \frac{2n\pi}{3}$

$0 \le \theta \le \pi$ より、

$\theta = \frac{\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{11\pi}{9}, \frac{17\pi}{9}$

このうち、$\theta$ の範囲を満たすものは、

$\theta = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$

(2) (ア) グラフは省略

(イ) $-\frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4}$、共有点のx座標の範囲: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$