次の定積分を求めます。 $\int_{0}^{1} \frac{x^4(1-x)^2}{1+x^2} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

$\int_{0}^{1} \frac{x^4(1-x)^2}{1+x^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

\begin{align*}

\frac{x^4(1-x)^2}{1+x^2} &= \frac{x^4(1-2x+x^2)}{1+x^2} \\

&= \frac{x^6 - 2x^5 + x^4}{1+x^2}

\end{align*}

次に、分子を分母で割ります。

\begin{align*}

x^6 - 2x^5 + x^4 &= (x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 4x + 1)(x^2+1) - 4x - 1 \\

\end{align*}

したがって、

\begin{align*}

\frac{x^6 - 2x^5 + x^4}{1+x^2} = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 4x + 1 - \frac{4x+1}{x^2+1}

\end{align*}

よって、

\begin{align*}

\int_{0}^{1} \frac{x^4(1-x)^2}{1+x^2} dx &= \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 4x + 1 - \frac{4x+1}{x^2+1}) dx \\

&= \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + x - 2 \ln(x^2+1) - \arctan(x) \right]_{0}^{1} \\

&= \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} - \frac{2x^3}{3} + 2x^2 + x - 2\ln(x^2+1) - \arctan(x) \right]_{0}^{1} \\

&= \frac{1}{5} - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + 2 + 1 - 2 \ln 2 - \frac{\pi}{4} \\

&= \frac{6 - 15 - 20 + 60 + 30}{30} - 2 \ln 2 - \frac{\pi}{4} \\

&= \frac{61}{30} - 2 \ln 2 - \frac{\pi}{4}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{61}{30} - 2\ln 2 - \frac{\pi}{4}$