関数 $y = \sin(\tan 2x)$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin(\tan 2x)$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式（チェーンルール）を繰り返し適用します。

まず、$u = \tan 2x$ と置くと、$y = \sin u$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

となります。

次に、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$y = \sin u$ より、

$\frac{dy}{du} = \cos u = \cos(\tan 2x)$

となります。

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = \tan 2x$ より、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan 2x)$

となります。

ここで、$v = 2x$ と置くと、$u = \tan v$ となります。

したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

となります。

$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(\tan v) = \sec^2 v = \sec^2(2x)$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) = 2$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \sec^2(2x) \cdot 2 = 2\sec^2(2x)$

となります。

以上より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(\tan 2x) \cdot 2\sec^2(2x) = 2\cos(\tan 2x)\sec^2(2x)$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2\cos(\tan 2x)\sec^2(2x)$