与えられた関数 $y = \tan(2x+1)$ の導関数 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan(2x+1)$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\tan(x)$ の導関数は $\frac{1}{\cos^2(x)}$ または $\sec^2(x)$ であることを利用します。

また、合成関数の微分法則 (chain rule) を用います。

まず、$u = 2x+1$ と置くと、$y = \tan(u)$ となります。

このとき、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\cos^2(u)} = \sec^2(u)$ と $\frac{du}{dx} = 2$ が得られます。

合成関数の微分法則により、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \sec^2(u) \cdot 2$

$u$ を $2x+1$ に戻すと、

$\frac{dy}{dx} = 2\sec^2(2x+1)$

3. 最終的な答え

$y' = 2\sec^2(2x+1)$