関数 $f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ (ただし、$\alpha, \beta > 0$)のマクローリン展開 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \cdots + a_nx^n + R_{n+1}$ における係数 $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots, a_n$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ (ただし、$\alpha, \beta > 0$)のマクローリン展開

$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \cdots + a_nx^n + R_{n+1}$

における係数 $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots, a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

マクローリン展開はテイラー展開の特別な場合であり、$x=0$ における展開である。

したがって、$a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ となる。

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算する。

$f(x) = (\alpha x + \beta)^{-1}$

$f'(x) = -1 (\alpha x + \beta)^{-2} \cdot \alpha = -\alpha (\alpha x + \beta)^{-2}$

$f''(x) = 2\alpha^2 (\alpha x + \beta)^{-3}$

$f'''(x) = -6\alpha^3 (\alpha x + \beta)^{-4}$

$f^{(4)}(x) = 24\alpha^4 (\alpha x + \beta)^{-5}$

一般に、$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \alpha^n (\alpha x + \beta)^{-(n+1)}$ と予想される。

数学的帰納法で証明する。

$n=1$ のとき、$f'(x) = (-1)^1 1! \alpha^1 (\alpha x + \beta)^{-(1+1)} = -\alpha (\alpha x + \beta)^{-2}$ であり成立する。

$n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = (-1)^k k! \alpha^k (\alpha x + \beta)^{-(k+1)}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = (-1)^k k! \alpha^k \cdot (-(k+1)) (\alpha x + \beta)^{-(k+2)} \cdot \alpha = (-1)^{k+1} (k+1)! \alpha^{k+1} (\alpha x + \beta)^{-(k+2)}$ となり、$n=k+1$ のときも成立する。

よって、$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \alpha^n (\alpha x + \beta)^{-(n+1)}$ が成り立つ。

$x=0$ を代入すると、$f^{(n)}(0) = (-1)^n n! \alpha^n \beta^{-(n+1)}$

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^n n! \alpha^n \beta^{-(n+1)}}{n!} = (-1)^n \frac{\alpha^n}{\beta^{n+1}}$

$a_0 = f(0) = \frac{1}{\beta}$

$a_1 = -\frac{\alpha}{\beta^2}$

$a_2 = \frac{\alpha^2}{\beta^3}$

$a_3 = -\frac{\alpha^3}{\beta^4}$

$a_4 = \frac{\alpha^4}{\beta^5}$

$\dots$

$a_n = (-1)^n \frac{\alpha^n}{\beta^{n+1}}$

3. 最終的な答え

$a_0 = \frac{1}{\beta}$

$a_1 = -\frac{\alpha}{\beta^2}$

$a_2 = \frac{\alpha^2}{\beta^3}$

$a_3 = -\frac{\alpha^3}{\beta^4}$

$a_4 = \frac{\alpha^4}{\beta^5}$

$a_n = (-1)^n \frac{\alpha^n}{\beta^{n+1}}$