(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ (ただし、$\alpha, \beta > 0$) のマクローリン展開 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \dots + a_nx^n + R_{n+1}^f$ における $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_n$ を求める。 (2) 関数 $g(x) = \frac{1}{2x + 3}$ のマクローリン展開 $g(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3 + b_4x^4 + \dots + b_nx^n + R_{n+1}^g$ における $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, b_n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ (ただし、$\alpha, \beta > 0$) のマクローリン展開

$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \dots + a_nx^n + R_{n+1}^f$

における $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_n$ を求める。

(2) 関数 $g(x) = \frac{1}{2x + 3}$ のマクローリン展開

$g(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3 + b_4x^4 + \dots + b_nx^n + R_{n+1}^g$

における $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, b_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

マクローリン展開の係数は、導関数を用いて $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ で与えられます。

$f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$

$f(0) = \frac{1}{\beta}$

$a_0 = \frac{f(0)}{0!} = \frac{1}{\beta}$

$f'(x) = -\frac{\alpha}{(\alpha x + \beta)^2}$

$f'(0) = -\frac{\alpha}{\beta^2}$

$a_1 = \frac{f'(0)}{1!} = -\frac{\alpha}{\beta^2}$

$f''(x) = \frac{2\alpha^2}{(\alpha x + \beta)^3}$

$f''(0) = \frac{2\alpha^2}{\beta^3}$

$a_2 = \frac{f''(0)}{2!} = \frac{\alpha^2}{\beta^3}$

$f'''(x) = -\frac{6\alpha^3}{(\alpha x + \beta)^4}$

$f'''(0) = -\frac{6\alpha^3}{\beta^4}$

$a_3 = \frac{f'''(0)}{3!} = -\frac{\alpha^3}{\beta^4}$

$f^{(4)}(x) = \frac{24\alpha^4}{(\alpha x + \beta)^5}$

$f^{(4)}(0) = \frac{24\alpha^4}{\beta^5}$

$a_4 = \frac{f^{(4)}(0)}{4!} = \frac{\alpha^4}{\beta^5}$

一般に、$f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{n!\alpha^n}{(\alpha x + \beta)^{n+1}}$なので、

$f^{(n)}(0) = (-1)^n \frac{n!\alpha^n}{\beta^{n+1}}$

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = (-1)^n \frac{\alpha^n}{\beta^{n+1}}$

(2)

同様に、$g(x) = \frac{1}{2x+3}$に対して、マクローリン展開の係数は、$b_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!}$ で与えられます。

$g(x) = \frac{1}{2x+3}$

$g(0) = \frac{1}{3}$

$b_0 = \frac{g(0)}{0!} = \frac{1}{3}$

$g'(x) = -\frac{2}{(2x+3)^2}$

$g'(0) = -\frac{2}{3^2}$

$b_1 = \frac{g'(0)}{1!} = -\frac{2}{9}$

$g''(x) = \frac{8}{(2x+3)^3}$

$g''(0) = \frac{8}{3^3}$

$b_2 = \frac{g''(0)}{2!} = \frac{4}{27}$

$g'''(x) = -\frac{48}{(2x+3)^4}$

$g'''(0) = -\frac{48}{3^4}$

$b_3 = \frac{g'''(0)}{3!} = -\frac{8}{81}$

$g^{(4)}(x) = \frac{384}{(2x+3)^5}$

$g^{(4)}(0) = \frac{384}{3^5}$

$b_4 = \frac{g^{(4)}(0)}{4!} = \frac{16}{243}$

一般に、$g^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{2^n n!}{(2x+3)^{n+1}}$なので、

$g^{(n)}(0) = (-1)^n \frac{2^n n!}{3^{n+1}}$

$b_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!} = (-1)^n \frac{2^n}{3^{n+1}}$

3. 最終的な答え

(1)

$a_0 = \frac{1}{\beta}$

$a_1 = -\frac{\alpha}{\beta^2}$

$a_2 = \frac{\alpha^2}{\beta^3}$

$a_3 = -\frac{\alpha^3}{\beta^4}$

$a_4 = \frac{\alpha^4}{\beta^5}$

$a_n = (-1)^n \frac{\alpha^n}{\beta^{n+1}}$

(2)

$b_0 = \frac{1}{3}$

$b_1 = -\frac{2}{9}$

$b_2 = \frac{4}{27}$

$b_3 = -\frac{8}{81}$

$b_4 = \frac{16}{243}$

$b_n = (-1)^n \frac{2^n}{3^{n+1}}$