(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ (ただし $\alpha, \beta > 0$) をマクローリン展開したときの係数 $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_n$ を求める。 (2) 関数 $g(x) = \frac{1}{2x+3}$ をマクローリン展開したときの係数 $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, b_n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ (ただし $\alpha, \beta > 0$) をマクローリン展開したときの係数 $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_n$ を求める。

(2) 関数 $g(x) = \frac{1}{2x+3}$ をマクローリン展開したときの係数 $b_0, b_1, b_2, b_3, b_4, b_n$ を求める。

2. 解き方の手順

マクローリン展開とは、$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ で表されるテイラー展開のことです。つまり、$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ と $b_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!}$ を計算することで係数を求めることができます。

(1) $f(x) = \frac{1}{\alpha x + \beta}$ について

$f(0) = \frac{1}{\beta} = a_0$

$f'(x) = -\frac{\alpha}{(\alpha x + \beta)^2}$

$f'(0) = -\frac{\alpha}{\beta^2} = a_1$

$f''(x) = \frac{2\alpha^2}{(\alpha x + \beta)^3}$

$f''(0) = \frac{2\alpha^2}{\beta^3}$

$a_2 = \frac{f''(0)}{2!} = \frac{\alpha^2}{\beta^3}$

$f'''(x) = -\frac{6\alpha^3}{(\alpha x + \beta)^4}$

$f'''(0) = -\frac{6\alpha^3}{\beta^4}$

$a_3 = \frac{f'''(0)}{3!} = -\frac{\alpha^3}{\beta^4}$

$f^{(4)}(x) = \frac{24\alpha^4}{(\alpha x + \beta)^5}$

$f^{(4)}(0) = \frac{24\alpha^4}{\beta^5}$

$a_4 = \frac{f^{(4)}(0)}{4!} = \frac{\alpha^4}{\beta^5}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n \frac{n! \alpha^n}{(\alpha x + \beta)^{n+1}}$

$f^{(n)}(0) = (-1)^n \frac{n! \alpha^n}{\beta^{n+1}}$

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = (-1)^n \frac{\alpha^n}{\beta^{n+1}}$

(2) $g(x) = \frac{1}{2x+3}$ について

上記(1)の結果で $\alpha = 2, \beta = 3$ とすれば良い。

$g(0) = \frac{1}{3} = b_0$

$g'(0) = -\frac{2}{3^2} = b_1$

$g''(0) = \frac{2 \cdot 2^2}{3^3}$

$b_2 = \frac{g''(0)}{2!} = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{27}$

$g'''(0) = -\frac{6 \cdot 2^3}{3^4}$

$b_3 = \frac{g'''(0)}{3!} = -\frac{2^3}{3^4} = -\frac{8}{81}$

$g^{(4)}(0) = \frac{24 \cdot 2^4}{3^5}$

$b_4 = \frac{g^{(4)}(0)}{4!} = \frac{2^4}{3^5} = \frac{16}{243}$

$b_n = (-1)^n \frac{2^n}{3^{n+1}}$

3. 最終的な答え

(1)

$a_0 = \frac{1}{\beta}$

$a_1 = -\frac{\alpha}{\beta^2}$

$a_2 = \frac{\alpha^2}{\beta^3}$

$a_3 = -\frac{\alpha^3}{\beta^4}$

$a_4 = \frac{\alpha^4}{\beta^5}$

$a_n = (-1)^n \frac{\alpha^n}{\beta^{n+1}}$

(2)

$b_0 = \frac{1}{3}$

$b_1 = -\frac{2}{9}$

$b_2 = \frac{4}{27}$

$b_3 = -\frac{8}{81}$

$b_4 = \frac{16}{243}$

$b_n = (-1)^n \frac{2^n}{3^{n+1}}$