問題は2つあります。 (1) 時刻 $t$ における物体の位置が $x(t) = \cos(t^2)$ で与えられているとき、速度と加速度を求めよ。 (2) 時刻 $t$ における中心角が $\theta = t^2$ で与えられる半径3の円運動について、速度、加速度、速さ、加速度の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 時刻 $t$ における物体の位置が $x(t) = \cos(t^2)$ で与えられているとき、速度と加速度を求めよ。

(2) 時刻 $t$ における中心角が $\theta = t^2$ で与えられる半径3の円運動について、速度、加速度、速さ、加速度の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

位置 $x(t)$ が与えられているので、速度 $v(t)$ は位置の時間微分で求められます。また、加速度 $a(t)$ は速度の時間微分で求められます。

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos(t^2))$

合成関数の微分を用いると、

$v(t) = -\sin(t^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = -\sin(t^2) \cdot 2t = -2t\sin(t^2)$

次に、加速度 $a(t)$ を求めます。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(-2t\sin(t^2))$

積の微分を用いると、

$a(t) = -2\sin(t^2) - 2t \cdot \frac{d}{dt}(\sin(t^2))$

合成関数の微分を用いると、

$a(t) = -2\sin(t^2) - 2t \cdot \cos(t^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = -2\sin(t^2) - 2t \cdot \cos(t^2) \cdot 2t$

$a(t) = -2\sin(t^2) - 4t^2\cos(t^2)$

(2)

半径 $r=3$ の円運動の中心角 $\theta = t^2$ が与えられています。

位置ベクトル $\vec{r}(t)$ は、

$\vec{r}(t) = (r\cos\theta, r\sin\theta) = (3\cos(t^2), 3\sin(t^2))$

で表されます。

速度 $\vec{v}(t)$ は、位置ベクトルを時間微分することで求められます。

$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(3\cos(t^2), 3\sin(t^2))$

$\vec{v}(t) = (-3\sin(t^2) \cdot 2t, 3\cos(t^2) \cdot 2t) = (-6t\sin(t^2), 6t\cos(t^2))$

速さ $|\vec{v}(t)|$ は、速度ベクトルの大きさです。

$|\vec{v}(t)| = \sqrt{(-6t\sin(t^2))^2 + (6t\cos(t^2))^2} = \sqrt{36t^2\sin^2(t^2) + 36t^2\cos^2(t^2)}$

$|\vec{v}(t)| = \sqrt{36t^2(\sin^2(t^2) + \cos^2(t^2))} = \sqrt{36t^2} = 6|t|$

加速度 $\vec{a}(t)$ は、速度ベクトルを時間微分することで求められます。

$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(-6t\sin(t^2), 6t\cos(t^2))$

$\vec{a}(t) = (-6\sin(t^2) - 6t\cos(t^2) \cdot 2t, 6\cos(t^2) - 6t\sin(t^2) \cdot 2t)$

$\vec{a}(t) = (-6\sin(t^2) - 12t^2\cos(t^2), 6\cos(t^2) - 12t^2\sin(t^2))$

加速度の大きさ $|\vec{a}(t)|$ は、加速度ベクトルの大きさです。

$|\vec{a}(t)| = \sqrt{(-6\sin(t^2) - 12t^2\cos(t^2))^2 + (6\cos(t^2) - 12t^2\sin(t^2))^2}$

$|\vec{a}(t)| = \sqrt{36\sin^2(t^2) + 144t^4\cos^2(t^2) + 144t^2\sin(t^2)\cos(t^2) + 36\cos^2(t^2) + 144t^4\sin^2(t^2) - 144t^2\sin(t^2)\cos(t^2)}$

$|\vec{a}(t)| = \sqrt{36(\sin^2(t^2) + \cos^2(t^2)) + 144t^4(\cos^2(t^2) + \sin^2(t^2))}$

$|\vec{a}(t)| = \sqrt{36 + 144t^4} = \sqrt{36(1 + 4t^4)} = 6\sqrt{1 + 4t^4}$

3. 最終的な答え

(1)

速度: $v(t) = -2t\sin(t^2)$

加速度: $a(t) = -2\sin(t^2) - 4t^2\cos(t^2)$

(2)

速度: $\vec{v}(t) = (-6t\sin(t^2), 6t\cos(t^2))$

加速度: $\vec{a}(t) = (-6\sin(t^2) - 12t^2\cos(t^2), 6\cos(t^2) - 12t^2\sin(t^2))$

速さ: $|\vec{v}(t)| = 6|t|$

加速度の大きさ: $|\vec{a}(t)| = 6\sqrt{1 + 4t^4}$