$a$ を正の定数とする。曲線 $y = a\cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と曲線 $y = \sin x$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積が1のとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。曲線 $y = a\cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と曲線 $y = \sin x$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積が1のとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = a\cos x$ と $y = \sin x$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$a\cos x = \sin x$ より、$\tan x = a$ となります。

$x = \arctan a$ とおきます。

次に、囲まれた部分の面積を計算します。

面積は、$\int_0^{\arctan a} (a\cos x - \sin x) dx$ で表されます。これが 1 であるという条件から $a$ を求めます。

$\int_0^{\arctan a} (a\cos x - \sin x) dx = [a\sin x + \cos x]_0^{\arctan a} = a\sin(\arctan a) + \cos(\arctan a) - (a\sin 0 + \cos 0)$

$= a\sin(\arctan a) + \cos(\arctan a) - 1 = 1$

$\therefore a\sin(\arctan a) + \cos(\arctan a) = 2$

ここで、$\arctan a = \theta$ とおくと、$\tan \theta = a$ より、$\sin \theta = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ となります。

したがって、$a\sin(\arctan a) + \cos(\arctan a) = a\frac{a}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} = \frac{a^2+1}{\sqrt{1+a^2}} = \sqrt{1+a^2} = 2$

両辺を2乗すると、$1+a^2 = 4$ より、$a^2 = 3$

$a$ は正の定数なので、$a = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$