2次方程式について、異なる実数解の個数を $k$ の値によって場合分けする問題です。 (3) $2x^3 - 6x^2 + k = 0$ (4) $x^4 + 2x^3 - 2x = k$

1. 問題の内容

2次方程式について、異なる実数解の個数を $k$ の値によって場合分けする問題です。

(3) $2x^3 - 6x^2 + k = 0$

(4) $x^4 + 2x^3 - 2x = k$

2. 解き方の手順

(3)

$2x^3 - 6x^2 + k = 0$ を変形すると、 $2x^3 - 6x^2 = -k$ となります。

$f(x) = 2x^3 - 6x^2$ とおくと、$f'(x) = 6x^2 - 12x = 6x(x - 2)$ となります。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ です。

$x = 0$ のとき $f(0) = 0$, $x = 2$ のとき $f(2) = 2(2^3) - 6(2^2) = 16 - 24 = -8$ です。

よって、$f(x)$ の増減表は次のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|---|-----|----|-----|----|-----|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 0 | ↓ | -8 | ↑ |

したがって、$y = f(x)$ のグラフと $y = -k$ のグラフの交点の個数を考えます。

- $-k > 0$ つまり $k < 0$ のとき、実数解は1個

- $-k = 0$ つまり $k = 0$ のとき、実数解は2個

- $-8 < -k < 0$ つまり $0 < k < 8$ のとき、実数解は3個

- $-k = -8$ つまり $k = 8$ のとき、実数解は2個

- $-k < -8$ つまり $k > 8$ のとき、実数解は1個

(4)

$x^4 + 2x^3 - 2x = k$ を変形すると $g(x) = x^4 + 2x^3 - 2x$ とおくと、$g'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2 = 2(2x^3 + 3x^2 - 1) = 2(x+1)^2(2x-1)$ となります。

$g'(x) = 0$ となるのは $x = -1, \frac{1}{2}$ です。

$g(-1) = 1 - 2 + 2 = 1$, $g(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4 + 2(\frac{1}{2})^3 - 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} - 1 = \frac{1 + 4 - 16}{16} = -\frac{11}{16}$

よって、$g(x)$ の増減表は次のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 1/2 | ... |

|---|-----|-----|-----|-----|-----|

| g'(x) | - | 0 | - | 0 | + |

| g(x) | ↓ | 1 | ↓ | -11/16| ↑ |

したがって、$y = g(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数を考えます。

- $k > 1$ のとき、実数解は2個

- $k = 1$ のとき、実数解は1個

- $-\frac{11}{16} < k < 1$ のとき、実数解は4個

- $k = -\frac{11}{16}$ のとき、実数解は3個

- $k < -\frac{11}{16}$ のとき、実数解は2個

3. 最終的な答え

(3)

- $k < 0$ のとき、実数解は1個

- $k = 0, 8$ のとき、実数解は2個

- $0 < k < 8$ のとき、実数解は3個

- $k > 8$ のとき、実数解は1個

(4)

- $k > 1$ のとき、実数解は2個

- $k = 1$ のとき、実数解は1個

- $-\frac{11}{16} < k < 1$ のとき、実数解は4個

- $k = -\frac{11}{16}$ のとき、実数解は3個

- $k < -\frac{11}{16}$ のとき、実数解は2個