与えられた関数 $y = x^{\cos^{-1}(3x)}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^{\cos^{-1}(3x)}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\cos^{-1}(3x)})$

$\ln y = \cos^{-1}(3x) \cdot \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律を使って微分します。右辺は積の微分法を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\cos^{-1}(3x)] \cdot \ln x + \cos^{-1}(3x) \cdot \frac{d}{dx} [\ln x]$

$\frac{d}{dx} [\cos^{-1}(3x)]$ を計算します。$\cos^{-1}(u)$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ です。

$\frac{d}{dx} [\cos^{-1}(3x)] = -\frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}} \cdot 3 = -\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$

$\frac{d}{dx} [\ln x] = \frac{1}{x}$

これらを元の式に代入します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}} \ln x + \cos^{-1}(3x) \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} = y \left(-\frac{3 \ln x}{\sqrt{1 - 9x^2}} + \frac{\cos^{-1}(3x)}{x}\right)$

$y = x^{\cos^{-1}(3x)}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos^{-1}(3x)} \left(\frac{\cos^{-1}(3x)}{x} - \frac{3 \ln x}{\sqrt{1 - 9x^2}}\right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos^{-1}(3x)} \left(\frac{\cos^{-1}(3x)}{x} - \frac{3 \ln x}{\sqrt{1 - 9x^2}}\right)$