与えられた関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}})$

対数の性質を使って、

$\ln y = \frac{1}{x} \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は $y$ の関数なので、連鎖律を使います。右辺は積の微分法を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{x} \ln x)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$

元の関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^2} (1 - \ln x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{\frac{1}{x}}(1 - \ln x)}{x^2}$