関数 $y = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$u = x^4 + 2x^2 + 2$ とおくと、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ となる。

連鎖律 (chain rule) を用いて、$dy/dx = (dy/du)(du/dx)$ を計算する。

まず、$dy/du$ を計算する。

$y = u^{\frac{1}{2}}$ なので、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

次に、$du/dx$ を計算する。

$u = x^4 + 2x^2 + 2$ なので、

$\frac{du}{dx} = 4x^3 + 4x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} (4x^3 + 4x) = \frac{4x^3 + 4x}{2\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}} = \frac{2x^3 + 2x}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 + 2x}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 2}}$