与えられた関数 $y = x^{\sin x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^{\sin x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^{\sin x})$

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律を使って、右辺は積の微分法を使います。

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{d}{dx} (\sin x \cdot \ln x)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

最後に、$y = x^{\sin x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$