関数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ のグラフと $x$ 軸によって囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ のグラフと $x$ 軸によって囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$ を解いて、$x$ 軸との交点を求めます。

$x(x^2 - 3x + 2) = 0$

$x(x-1)(x-2) = 0$

よって、$x = 0, 1, 2$ が $x$ 軸との交点です。

次に、積分を使って面積を計算します。

$0 \le x \le 1$ の範囲では $y \ge 0$ であり、$1 \le x \le 2$ の範囲では $y \le 0$ なので、面積は次のようになります。

$S = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx + \left| \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx \right|$

まず、不定積分を計算します。

$\int (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{4} - 1 + 1 - 0 = \frac{1}{4}$

$\int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_1^2 = (\frac{1}{4}(16) - 8 + 4) - (\frac{1}{4} - 1 + 1) = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

したがって、面積は

$S = \frac{1}{4} + \left| -\frac{1}{4} \right| = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

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