問題1は、与えられた関数を微分する問題です。 問題2は、与えられた条件下で、EOQ（経済的発注量）を求め、それを用いて総費用と最適発注回数を求める問題です。 問題1 (1) $f(x) = (10x - 5)^6$ (2) $f(x) = (4x^2 + x + 15)^3$ (3) $f(x) = e^{x^2+1}$ (4) $f(x) = xe^{x^3}$ (5) $f(x) = \sqrt[3]{x}$ ($x > 0$) (6) $f(x) = e^x 6^{x-5}$ 問題2 ある商品の年間需要量 $D = 100000$ 個、1回あたりの発注費用 $a = 200$ 円、1個あたりの在庫維持費 $b = 40$ 円。 (1) EOQ公式による最適発注量 (2) 総費用と最適発注回数

1. 問題の内容

問題1は、与えられた関数を微分する問題です。

問題2は、与えられた条件下で、EOQ（経済的発注量）を求め、それを用いて総費用と最適発注回数を求める問題です。

問題1

(1) $f(x) = (10x - 5)^6$

(2) $f(x) = (4x^2 + x + 15)^3$

(3) $f(x) = e^{x^2+1}$

(4) $f(x) = xe^{x^3}$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{x}$ ($x > 0$)

(6) $f(x) = e^x 6^{x-5}$

問題2

ある商品の年間需要量 $D = 100000$ 個、1回あたりの発注費用 $a = 200$ 円、1個あたりの在庫維持費 $b = 40$ 円。

(1) EOQ公式による最適発注量

(2) 総費用と最適発注回数

2. 解き方の手順

問題1

(1) 合成関数の微分を使用します。$f'(x) = 6(10x - 5)^5 \cdot 10 = 60(10x - 5)^5$

(2) 合成関数の微分を使用します。$f'(x) = 3(4x^2 + x + 15)^2 \cdot (8x + 1) = (24x+3)(4x^2+x+15)^2$

(3) 合成関数の微分を使用します。$f'(x) = e^{x^2+1} \cdot (2x) = 2xe^{x^2+1}$

(4) 積の微分と合成関数の微分を使用します。$f'(x) = 1 \cdot e^{x^3} + x \cdot e^{x^3} \cdot (3x^2) = e^{x^3} + 3x^3e^{x^3} = (1+3x^3)e^{x^3}$

(5) $f(x) = x^{1/3}$なので、$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

(6) $f(x) = e^x 6^{x-5}$を$f(x) = e^x 6^x 6^{-5}$と変形します。$f(x) = 6^{-5} e^x 6^x = 6^{-5} (6e)^x$。従って、$f'(x) = 6^{-5} (6e)^x \ln(6e) = 6^{-5} e^x 6^x (\ln 6 + \ln e) = 6^{-5}e^x 6^x (\ln 6 + 1) = e^x 6^{x-5} (\ln 6 + 1)$

問題2

(1) EOQ公式は $Q = \sqrt{\frac{2aD}{b}}$ で求められます。

$Q = \sqrt{\frac{2 \cdot 200 \cdot 100000}{40}} = \sqrt{\frac{40000000}{40}} = \sqrt{1000000} = 1000$ 個

(2) 総費用は、$TC = \frac{D}{Q}a + \frac{Q}{2}b$ で求められます。

$TC = \frac{100000}{1000} \cdot 200 + \frac{1000}{2} \cdot 40 = 100 \cdot 200 + 500 \cdot 40 = 20000 + 20000 = 40000$ 円

最適発注回数は、$\frac{D}{Q} = \frac{100000}{1000} = 100$ 回

3. 最終的な答え

問題1

(1) $f'(x) = 60(10x - 5)^5$

(2) $f'(x) = (24x+3)(4x^2+x+15)^2$

(3) $f'(x) = 2xe^{x^2+1}$

(4) $f'(x) = (1+3x^3)e^{x^3}$

(5) $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

(6) $f'(x) = e^x 6^{x-5} (\ln 6 + 1)$

問題2

(1) 最適発注量：1000個

(2) 総費用：40000円、最適発注回数：100回