ライプニッツの公式を用いて、関数 $f(x) = (x^2 - 3x + 1)e^x$ の3階微分 $f^{(3)}(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ライプニッツの公式を用いて、関数 $f(x) = (x^2 - 3x + 1)e^x$ の3階微分 $f^{(3)}(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 階微分を求めるために使用されます。公式は次のとおりです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、${n \choose k}$ は二項係数です。

この問題では、$u(x) = x^2 - 3x + 1$ と $v(x) = e^x$ とします。

まず、$u(x)$ の導関数を計算します。

$u(x) = x^2 - 3x + 1$

$u'(x) = 2x - 3$

$u''(x) = 2$

$u'''(x) = 0$

次に、$v(x)$ の導関数を計算します。$v(x) = e^x$なので、何回微分しても$e^x$です。

$v(x) = e^x$

$v'(x) = e^x$

$v''(x) = e^x$

$v'''(x) = e^x$

ライプニッツの公式を $n = 3$ として適用します。

$(uv)^{(3)} = {3 \choose 0} u^{(3)} v^{(0)} + {3 \choose 1} u^{(2)} v^{(1)} + {3 \choose 2} u^{(1)} v^{(2)} + {3 \choose 3} u^{(0)} v^{(3)}$

それぞれの項を計算します。

${3 \choose 0} = 1$

${3 \choose 1} = 3$

${3 \choose 2} = 3$

${3 \choose 3} = 1$

したがって、

$(uv)^{(3)} = 1 \cdot 0 \cdot e^x + 3 \cdot 2 \cdot e^x + 3 \cdot (2x - 3) \cdot e^x + 1 \cdot (x^2 - 3x + 1) \cdot e^x$

$(uv)^{(3)} = 0 + 6e^x + (6x - 9)e^x + (x^2 - 3x + 1)e^x$

$(uv)^{(3)} = (6 + 6x - 9 + x^2 - 3x + 1)e^x$

$(uv)^{(3)} = (x^2 + 3x - 2)e^x$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3x - 2)e^x$