関数 $y = \cos x$ ($-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$) のグラフと$x$軸によって囲まれた図形を、$x$軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ ($-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$) のグラフと$x$軸によって囲まれた図形を、$x$軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を用いて求めることができます。$x$軸の周りに回転させたときの体積$V$は、以下の式で表されます。

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

ここで、$f(x)$は回転させる関数、$a$と$b$は積分の範囲です。この問題の場合、$f(x) = \cos x$、$a = -\frac{\pi}{2}$、$b = \frac{\pi}{2}$です。したがって、体積$V$は、

$V = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^2 dx$

$\cos^2 x$ を半角の公式を使って変形します。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

したがって、積分の式は

$V = \pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx$

$V = \frac{\pi}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin (-\pi) \right) \right]$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right]$

$V = \frac{\pi}{2} \cdot \pi$

$V = \pi^2 / 2$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{2}$