関数 $f(x)$ が $f(x) = x^2 - \int_0^2 f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求め、空欄に当てはまる数を答える問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = x^2 - \int_0^2 f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求め、空欄に当てはまる数を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int_0^2 f(t) dt$ は定数であることに注意します。この値を $A$ とおきます。

$A = \int_0^2 f(t) dt$

すると、$f(x)$ は次のように表せます。

$f(x) = x^2 - A$

この式を $A$ の定義に代入します。

$A = \int_0^2 (t^2 - A) dt$

積分を実行します。

$A = [\frac{1}{3}t^3 - At]_0^2$

$A = (\frac{1}{3}(2)^3 - A(2)) - (\frac{1}{3}(0)^3 - A(0))$

$A = \frac{8}{3} - 2A$

この式を $A$ について解きます。

$3A = \frac{8}{3}$

$A = \frac{8}{9}$

したがって、$f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = x^2 - \frac{8}{9}$

3. 最終的な答え

ア = 8

イ = 9