曲線 $C: y = x^3 - 5x$ 上の点 $(-1, 4)$ における接線 $l$ の方程式を求め、曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 - 5x$ 上の点 $(-1, 4)$ における接線 $l$ の方程式を求め、曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

まず、曲線 $C$ の導関数を求める。

$y' = 3x^2 - 5$

点 $(-1, 4)$ における接線の傾きは、

$y'(-1) = 3(-1)^2 - 5 = 3 - 5 = -2$

したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - 4 = -2(x - (-1))$

$y - 4 = -2(x + 1)$

$y - 4 = -2x - 2$

$y = -2x + 2$

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の交点を求める。

$x^3 - 5x = -2x + 2$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x + 1)(x^2 - x - 2) = 0$

$(x + 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

$(x + 1)^2(x - 2) = 0$

$x = -1, 2$

交点は $(-1, 4)$ と $(2, -2)$

(3) 面積を求める。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-1}^{2} \{(-2x + 2) - (x^3 - 5x)\} dx$

$S = \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x + 2) dx$

$S = \left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-1}^{2}$

$S = \left(-\frac{1}{4}(2)^4 + \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2)\right) - \left(-\frac{1}{4}(-1)^4 + \frac{3}{2}(-1)^2 + 2(-1)\right)$

$S = \left(-\frac{16}{4} + \frac{12}{2} + 4\right) - \left(-\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2\right)$

$S = (-4 + 6 + 4) - \left(-\frac{1}{4} + \frac{6}{4} - \frac{8}{4}\right)$

$S = 6 - \left(-\frac{3}{4}\right)$

$S = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$l$ の方程式は $y = -2x + 2$ である。

面積は $\frac{27}{4}$ である。