与えられた不定積分を計算する問題です。特に、(1), (2), (3), (4), (5) の５つの積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。特に、(1), (2), (3), (4), (5) の５つの積分を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x^4 - x^3 + x - 1}{x^2} dx$

被積分関数を整理します。

$\frac{x^4 - x^3 + x - 1}{x^2} = x^2 - x + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$

それぞれの項を積分します。

$\int (x^2 - x + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) dx = \int x^2 dx - \int x dx + \int \frac{1}{x} dx - \int x^{-2} dx$

$= \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \ln|x| - \frac{x^{-1}}{-1} + C$

$= \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \ln|x| + \frac{1}{x} + C$

(2) $\int \frac{(\sqrt[3]{x} - 1)^2}{\sqrt{x}} dx$

$(\sqrt[3]{x} - 1)^2 = x^{2/3} - 2x^{1/3} + 1$

$\int \frac{x^{2/3} - 2x^{1/3} + 1}{x^{1/2}} dx = \int (x^{2/3 - 1/2} - 2x^{1/3 - 1/2} + x^{-1/2}) dx$

$= \int (x^{1/6} - 2x^{-1/6} + x^{-1/2}) dx$

$= \frac{x^{7/6}}{7/6} - 2\frac{x^{5/6}}{5/6} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$

$= \frac{6}{7}x^{7/6} - \frac{12}{5}x^{5/6} + 2x^{1/2} + C$

(3) $\int \frac{3 + \cos^3 x}{\cos^2 x} dx$

$\int \frac{3 + \cos^3 x}{\cos^2 x} dx = \int (\frac{3}{\cos^2 x} + \cos x) dx = \int (3\sec^2 x + \cos x) dx$

$= 3\int \sec^2 x dx + \int \cos x dx = 3\tan x + \sin x + C$

(4) $\int \frac{1}{\tan^2 x} dx = \int \cot^2 x dx = \int (\csc^2 x - 1) dx$

$= \int \csc^2 x dx - \int 1 dx = -\cot x - x + C$

(5) $\int (2e^x - \frac{3}{x}) dx = 2\int e^x dx - 3\int \frac{1}{x} dx = 2e^x - 3\ln|x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \ln|x| + \frac{1}{x} + C$

(2) $\frac{6}{7}x^{7/6} - \frac{12}{5}x^{5/6} + 2x^{1/2} + C$

(3) $3\tan x + \sin x + C$

(4) $-\cot x - x + C$

(5) $2e^x - 3\ln|x| + C$