(1) $\sin(\frac{7}{12}\pi)$ の値を加法定理を用いて求める。 (2) $\cos(\frac{3}{4}\pi)$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin(\frac{7}{12}\pi)$ の値を加法定理を用いて求める。

(2) $\cos(\frac{3}{4}\pi)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{7}{12}\pi$ を $\frac{\pi}{4}$ と $\frac{\pi}{3}$ の和で表す。

$\frac{7}{12}\pi = \frac{3}{12}\pi + \frac{4}{12}\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$

次に、$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ の加法定理を用いる。

$\sin(\frac{7}{12}\pi) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{3})$

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を代入する。

$\sin(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2)

$\cos(\frac{3}{4}\pi)$ を求める。

$\cos(\frac{3}{4}\pi) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ より、

$\cos(\frac{3}{4}\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$