曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x=0$ の点で放物線 $y = x^2 - 2x + 3$ と接するとき、$c$ と $d$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x=0$ の点で放物線 $y = x^2 - 2x + 3$ と接するとき、$c$ と $d$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの曲線が $x=0$ で接するということは、

(1) $x=0$ で2つの曲線の $y$ 座標が一致する

(2) $x=0$ で2つの曲線の接線の傾きが一致する

ということを意味します。

まず、曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ に $x=0$ を代入すると、

$y = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d$

次に、放物線 $y = x^2 - 2x + 3$ に $x=0$ を代入すると、

$y = (0)^2 - 2(0) + 3 = 3$

(1)より、$d = 3$ となります。

次に、それぞれの曲線を微分します。

曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$

放物線 $y = x^2 - 2x + 3$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x - 2$

それぞれの導関数に $x=0$ を代入します。

$\frac{dy}{dx}|_{x=0} = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = c$

$\frac{dy}{dx}|_{x=0} = 2(0) - 2 = -2$

(2)より、$c = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$c = -2$

$d = 3$