不定積分 $\int \frac{x}{\sqrt{x+2} - \sqrt{2}} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x}{\sqrt{x+2} - \sqrt{2}} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。

$$\frac{x}{\sqrt{x+2} - \sqrt{2}} = \frac{x(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})}{(\sqrt{x+2} - \sqrt{2})(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})} = \frac{x(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})}{(x+2) - 2} = \frac{x(\sqrt{x+2} + \sqrt{2})}{x} = \sqrt{x+2} + \sqrt{2}$$

よって、積分は以下のようになります。

$$\int (\sqrt{x+2} + \sqrt{2}) dx = \int \sqrt{x+2} dx + \int \sqrt{2} dx$$

ここで、$\int \sqrt{x+2} dx$ を計算します。$u = x+2$ と置換すると、$du = dx$ となります。

$$\int \sqrt{x+2} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{2}{3} (x+2)^{3/2} + C_1$$

次に、$\int \sqrt{2} dx = \sqrt{2}x + C_2$ を計算します。

したがって、

$$\int (\sqrt{x+2} + \sqrt{2}) dx = \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} + \sqrt{2}x + C$$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$$\int \frac{x}{\sqrt{x+2} - \sqrt{2}} dx = \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} + \sqrt{2}x + C$$