点 $(3, 4)$ から曲線 $y = -x^2 + 4x - 3$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(3, 4)$ から曲線 $y = -x^2 + 4x - 3$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, -t^2 + 4t - 3)$ とおきます。

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx} = -2x + 4$

よって、接点 $(t, -t^2 + 4t - 3)$ における接線の傾きは $-2t + 4$ です。

(3) 接線の方程式を求めます。

接線の方程式は、

$y - (-t^2 + 4t - 3) = (-2t + 4)(x - t)$

整理すると、

$y = (-2t + 4)x + t^2 - 3$

(4) この接線が点 $(3, 4)$ を通ることから、$x = 3$, $y = 4$ を代入します。

$4 = (-2t + 4)(3) + t^2 - 3$

$4 = -6t + 12 + t^2 - 3$

$t^2 - 6t + 5 = 0$

(5) $t$ についての二次方程式を解きます。

$(t - 1)(t - 5) = 0$

$t = 1, 5$

(6) $t = 1$ のとき、接線の方程式は

$y = (-2(1) + 4)x + (1)^2 - 3 = 2x - 2$

(7) $t = 5$ のとき、接線の方程式は

$y = (-2(5) + 4)x + (5)^2 - 3 = -6x + 22$

3. 最終的な答え

$y = 2x - 2$

$y = -6x + 22$