$2x^2 + 2xy - 5y^2 = 1$ のとき、$dy/dx$ を $x$ と $y$ を用いて表す問題を解きます。

1. 問題の内容

$2x^2 + 2xy - 5y^2 = 1$ のとき、$dy/dx$ を $x$ と $y$ を用いて表す問題を解きます。

2. 解き方の手順

陰関数微分を用いて $dy/dx$ を求めます。与えられた式 $2x^2 + 2xy - 5y^2 = 1$ の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}(2x^2 + 2xy - 5y^2) = \frac{d}{dx}(1)$

$4x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 10y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}$ について整理します。

$2x\frac{dy}{dx} - 10y\frac{dy}{dx} = -4x - 2y$

$\frac{dy}{dx}(2x - 10y) = -4x - 2y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x - 2y}{2x - 10y}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(2x + y)}{2(x - 5y)}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x - 5y}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x + y}{5y - x}$

3. 最終的な答え

$dy/dx = \frac{2x + y}{5y - x}$